Martin Barth begann seine musikalische Laufbahn im Alter von neun Jahren, als er Schlagzeugunterricht bei Claus Furchtner an der Musikschule in Meckenbeuren nahm. Schon früh errang er bei „Jugend musiziert“ mehrere erste Bundespreise sowohl in der Ensemble- als auch in der Solo-Wertung. Seine musikalische Entwicklung wurde durch seine Mitgliedschaft im Landesjugendorchester Baden-Württemberg sowie im Bundesjugendorchester weiter gefördert.

Das Studium für Pauke und Schlagzeug absolvierte er an der Hochschule für Musik und Theater in München, wo er unter Franz Bach und Peter Sadlo wertvolle Erfahrungen sammelte. In der Spielzeit 2013/14 war er als Praktikant bei der Württembergischen Philharmonie Reutlingen tätig und wurde im Anschluss Akademist bei den Bamberger Symphonikern.

2015 gewann Martin Barth das Probespiel für die Staatskapelle Berlin, wo er seither als Solo-Schlagzeuger engagiert ist. Darüber hinaus ist er seit 2017 Mitglied des von Daniel Barenboim gegründeten Boulez Ensembles, das sich vorwiegend mit moderner Literatur und Uraufführungen beschäftigt. Mit der Staatskapelle Berlin und vielen anderen großen Orchestern tritt unter der Leitung berühmter Dirigenten wie Zubin Mehta, Christian Thielemann, Simon Rattle, Antonio Pappano und Kirill Petrenko auf.

Seit 2019 engagiert sich Martin Barth zudem als Mentor in der Ausbildung der Akademie der Staatskapelle Berlin.

Seit 2025 ist er als Lehrbeauftragter für Orchesterschlagzeug an der Hochschule für Musik und Theater Rostock tätig.